设数列{an}的前n项和为sn,若对于任意的正整数n都有sn=2an-3n.(1)设bn=an+3,证明:数列{bn}是
首页/题库/458℃/2024-04-24 00:55:18
设数列{an}的前n项和为sn,若对于任意的正整数n都有sn=2an-3n.(1)设bn=an+3,证明:数列{bn}是等比数列
(2)求数列{n倍an}的前n项和
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优质解答:
(1)
Sn=2an-3n
n=1时,S1=a1,故有:a1=2a1-3,a1=3
n>=2时,
an=Sn-S(n-1)=2an-3n-[2a(n-1)-3(n-1)]=2an-2a(n-1)-3
即:an=2a(n-1)+3
两边+3
an+3=2[a(n-1)+3]
而bn=an+3,代入:
bn=2b(n-1)
所以数列{bn}是等比数列,q=2,首项为b1=a1+3=6
bn=6*2^(n-1)=3*2^n
an=bn-3=3*2^n-3
(2)设Cn=nan=3n*2^n-3n,为两项和
前n项和为Tn
Tn=3*[1*2^1+2*2^2+3*2^3+……+n*2^n]-[3+6+9+……+3n]
2Tn=3*[1*2^2+2*2^3+3*2^4+……+(n-1)*2^n+n*2^(n+1)]-2[3+6+9+……+3n]
上式减去下式:
-Tn=3*[1*2^1+2^2+2^3+2^4+……+2^n-n*2^(n+1)]+[3+6+9+……+3n]
=3*2(2^n-1)/(2-1)-3n*2^(n+1)+n(3+3n)/2
=(3-3n)*2^(n+1)+3n(n+1)/2-6
故:Tn=(3n-3)*2^(n+1)-3n(n+1)/2+6
注:求这类n项和,都是用Tn减去qTn,错位相消法.
.
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