设二次函数f(x)=ax^2+bx+c在区间[-2,2]上的最大值、最小值分别是M、m,集合A={x|f(x)=x},若

首页/题库/306℃/2024-07-03 22:41:28

设二次函数f(x)=ax^2+bx+c在区间[-2,2]上的最大值、最小值分别是M、m,集合A={x|f(x)=x},若A={1},且a≥1,记g(a)=M+m,求g(a)的最小值.

优质解答：

f(x)=x,即ax^2+(b-1)x+c=0

A={1},说明a+b-1+c=0

又∵ Δ=（b-1）^2-4ac=0

∴a=c,b=1-2a

f(x)=ax^2+(1-2a)x+a

对称轴为x=1-1/(2a),且 a>1

∴对称轴的取值范围是[1/2,1)

∴x=(2a-1)/2a时有最小值m,且为（4a-1）/4a

当x=-2时有最大值M,且为4a-2+4a+a=9a-2

g(a)=(4a-1)/4a+9a-2=9a - 1/(4a) - 1

g(a)在（0,+∞）上单调递增,所以a=1时有最小值

g(1)=8-1/4=31/4

再问： 为什么f(x)=x,即ax^2+(b-1)x+c=0？

再答： f(x)=ax^2+bx+c=x,把x移到左边，即为b(x-1)

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