如图,△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,△ABE和△ACF都是等边三角形,若AD：BC=12：25,且AB

首页/题库/418℃/2024-05-19 05:10:06

如图,△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,△ABE和△ACF都是等边三角形,若AD：BC=12：25,且AB＞AC

求：s△DBE/△DAF

这题可能有巧解,不过我没仔细想.我的方法如下

首先我想,设bc=25x,ad=12x,让bc不动,ad左右移动,那么ab垂直ac的情况应该只有一种才对（ab>ac）

那么就是说可以把所有的数据都解出来.

（1）

abcd是双垂直三角形,

角cad+角bad=90度=角abd+角bad,故角cad=角abd

角cda=角adb=90度

故三角形abd相似于三角形cad

（2）设bc=25x,ad=12x,

按比例有bd：ad=ad：dc

又bd+cd+25x

解得bd=16x,则ab=bd^2+ad^2再开方=20x,

cd=9x,同理ac=15x

这样abd和acd都是边长比例为3,4,5的三角形.

（然后你会发现把acd向左旋转90度,就和abd差不多了,都是边长3,4,5的相似三角形,

而那两个等边的又是建立在斜边的基础上,所以整个图形

aebd和adcf就是相似的,只是比例不一样,一个大一个小而已）

（所求的dbe和daf也是相似的,其面积的比例就是边长的平方

下面来证明下相似性,）

（3）

上面求过的ad=12x,bd=16x,故ad比bd=3比4

因为等边,af比eb=ac比ab=3比4

比例可得角abd=角cad,角ebd=角abd+60度=cad+60度=角fad

故边角边定理得

△DBE相似于△DAF

（4）

相似三角形面积比例=边长之比的平方=（ad比bd）^2=9：16

上面说的多,主要是思路,楼主写解法只要按上面（1）（2）（3）（4）写下来就行了

希望有所帮助!