已知函数发f(x)=2alnx-x^2+1,试比较2/ln2+2/ln3+...+2/lnn与(3n^2-n-2)/(n

首页/题库/443℃/2024-07-04 03:52:22

已知函数发f(x)=2alnx-x^2+1,试比较2/ln2+2/ln3+...+2/lnn与(3n^2-n-2)/(n(n+1))的大小(其中n大于等于2是

结论: 2/ln2+2/ln3+...+2/lnn>(3n^2-n-2)/(n(n+1)) (n>=2)

证明方法：分析法.

设a[1]=0,a[n]=2/ln(n) (n>=2),前n项和S[n].

b[n]的前n项和T[n], T[n]=(3n^2-n-2)/(n(n+1)) [ ]内是数列的下标.

由(1) b[1]=0, b[n]=T[n]-T[n-1]=...=4/(n(n+2)) (n>=2)

由(1)(2)步,要证结论为真,只需证n>=2时,

a[n]>b[n], 即 2/ln(n)>4/(n(n+2))

上式为真,只需证n>=2时,ln(n^2)<n^2+n （*）

构造函数f(x)=ln(x)-x+1,(x>0), 容易证明 x>1时,ln(x)<x-1

由(4) n>=2时,ln(n^2)<n^2-1

(*)式为真,只需证n>=2时,n^2-1<n^2+n , 即证-1<n

由(5) n>=2时,-1<n 为真,得证.

正式书写时,可把分析法转化为综合法,俗称“逆推顺证”

希望能对你有点帮助!