已知各项均为正数的数列{an}满足a1=3,且(2a(n+1)-an)/(2an-a(n+1))=ana(n+1),求数

首页/题库/191℃/2024-05-19 17:29:09

已知各项均为正数的数列{an}满足a1=3,且(2a(n+1)-an)/(2an-a(n+1))=ana(n+1),求数列{an}的通项公式

[2a(n+1)-an]/[2an-a(n+1)]=ana(n+1)

2an²a(n+1)-ana(n+1)²=2a(n+1)-an

2an²a(n+1)-2a(n+1)=ana(n+1)²-an

2a(n+1)(an²-1)=an[a(n+1)²-1]

[a(n+1)²-1]/a(n+1)=2(an²-1)/an

{[a(n+1)²-1]/a(n+1)}/[(an²-1)/an]=2,为定值.

(a1² -1)/a1=(3²-1)/3=8/3

数列{(an²-1)/an}是以8/3为首项,2为公比的等比数列.

(an² -1)/an=(8/3)×2^(n-1)

an²-(8/3)×2^(n-1)an -1=0

an>0

an={(8/3)×2^(n-1) +√[[(8/3)×2^(n-1)]²+4]}/2

后面不写了,你自己化简就可以了.

再问： an²-(8/3)×2^(n-1)an -1=0 an>0 这步：an={(8/3)×2^(n-1) +√[[(8/3)×2^(n-1)]²+4]}/2 怎么求的？不懂啊

再答：剩下的就简单了，就是一个一元二次方程，用求根公式算。