已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足an+2Sn*Sn-1=0,a1=1/2.

首页/题库/335℃/2024-05-09 19:53:21

已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足an+2Sn*Sn-1=0,a1=1/2.

（1）若｛bn｝满足bn=2（1-n）×an,求证b2的平方+b3的平方+.+bn的平方＜1

优质解答：

证：

an+2SnSn-1=0

Sn-Sn-1+2SnSn-1=0

等式两边同除以SnSn-1

1/Sn-1-1/Sn+2=0

1/Sn-1/Sn-1=2,为定值.

1/S1=1/a1=2

数列{1/Sn}是以2为首项,2为公差的等差数列.

1/Sn=2+2(n-1)=2n Sn=1/(2n)

1/Sn-1=2+2(n-2)=2(n-1) Sn-1=1/[2(n-1)]

an=Sn-Sn-1=1/(2n)-1/[2(n-1)]=1/[2n(1-n)]

bn=2(1-n)an=1/n

b2²+b3²+...+bn²

=1/2²+1/3²+...+1/n²

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