如图所示，A，E，F，C在一条直线上，AE=CF，过E，F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，若AB=CD，可以得到BD平分E

首页/题库/201℃/2024-05-02 13:13:42

如图所示，A，E，F，C在一条直线上，AE=CF，过E，F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，若AB=CD，可以得到BD平分EF，为什么？说明理由．

优质解答：

BD平分EF，理由是：

证法一、连接BE、DF．

∵DE⊥AC，BF⊥AC，

∴∠AFB=∠CED=90°，DE∥BF，

∵AE=CF，

∴AE+EF=CF+EF，

即AF=CE，

在Rt△ABF和Rt△CDE中

AB＝CD

AF＝CE，

∴Rt△ABF≌Rt△CDE，

∴DE=BF，

∵DE∥BF，

∴四边形DEBF是平行四边形，

∴BD平分EF；

证法二、∵DE⊥AC，BF⊥AC，

∴∠AFB=∠CED=90°，DE∥BF，

∵AE=CF，

∴AE+EF=CF+EF，

即AF=CE，

在Rt△ABF和Rt△CDE中

AB＝CD

AF＝CE，

∴Rt△ABF≌Rt△CDE，

∴DE=BF，

∵在△BFG和△DEG中

∠BFG＝∠DEG

∠BGF＝∠DGE

BF＝DE，

∴△BFG≌△DEG（AAS），

∴EG=FG，

即BD平分EF．

试题解析：

求出∠AFB=∠CED=90°，DE∥BF，推出AF=CE，连接BE、DF，根据HL证Rt△ABF≌Rt△CDE，推出DE=BF，得出平行四边形DEBF，根据平行四边形的性质推出即可．

名师点评：

本题考点： 全等三角形的判定与性质；垂线；直角三角形全等的判定；平行四边形的判定与性质．

考点点评： 本题考查了平行四边形的性质和判定，垂线，全等三角形的性质和判定等知识点的运用，关键是得出平行四边形DEBF，题目比较好，难度适中．

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