某厂建一个容积为300立方米的无盖圆柱形蓄水池,已知池底单位造价为池壁单位造价的两倍,问应当如何设计才能使总造价最低?

首页/题库/338℃/2024-04-25 17:29:31

设池壁造价为k

半径为r,池高为h

(πr^2)*h=30

h=30/(πr^2)

X=2kπr^2+k*2πrh

=2kπr^2+60k/r

(1)高中方法,不等式（算术平均值大于几何平均值）：

=2kπr^2+30k/r+30k/r≥3倍(三次根号下){(2kπr^2)*(30k/r)*(30k/r)}

=3倍(三次根号下){1800π(k^3)}=6k(三次根号下){225π}

当且仅当2kπr^2=30k/r,即r=(三次根号下){15/π}时,等号成立,函数取最小值

(2)大学方法,求导：

X′=4kπr-60k/(r^2)=0

πr^3=15

r=(三次根号下){15/π}时,导数为0,函数取最小值.

X=2kπ(三次根号下){225/(π^2)}+60k(三次根号下){π/15}

=2kπ(三次根号下){225/(π^2)}+4kπ(三次根号下){225/(π^2)}

=6kπ(三次根号下){225/(π^2)}

=6k(三次根号下){225π}