如图,已知正四棱锥ABCD-A`B`C`D`中,底面边长AB=2,侧棱BB`=4,过点B作B`C的垂线交侧棱CC`于点E

首页/题库/379℃/2024-07-03 03:14:46

如图,已知正四棱锥ABCD-A`B`C`D`中,底面边长AB=2,侧棱BB`=4,过点B作B`C的垂线交侧棱CC`于点E,交B`C于点F.1.求证：A`C垂直于平面BDE.2.求A`B与平面BDE所成角的正弦值!

优质解答：

/>1、

证明：

易得BB'/BC=BC/CE=2

又∵∠B'BC=∠BCE=90°,

∴△B'BC∽△BCE,

∴∠BB'E=∠CBE,

∴∠B'BE+∠CBE=∠B'BE+∠BB'E=90°,

∴B'C⊥BE,

∵A'B'⊥面BCC'B'

∴根据三垂线定理,得

A1C⊥BE

又∵BD⊥AC,AA'⊥面ABCD

∴A'C⊥BD

∴A'c⊥面BDE

得证

2、根据第一问的结论知道,A'C与面BDE垂直

∴A'C与面BDE的交点就是A'在面BDE内的摄影,

∴∠BA'C与A`B和平面BDE所成角是互余关系,

所以A`B与平面BDE所成角的正弦值就等于cos∠BA'C

即cos∠BA'C=BA'/A'C=2√5/(2√6)=√30/6

此即所求

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