设y=f(x)二阶可导,且其一阶、二阶导数均不为零,其反函数为x=φ(y),则φ''(y)=____
首页/题库/198℃/2024-05-19 11:56:16
优质解答:
∵函数y=f(x)的反函数为x=φ(y)
则在反函数可导的条件下,我们有
φ'(y)=1/f'(x) ······(*)
假定(*)是可导的,
把等号右边视作分式,等式两端再对y求导
φ"(y)={-1/[f'(x)]²}·[f'(x)]'(y)
(最后的括弧y表示对y求导)
式中第二个因子中f'(x)是x的函数,却要对y求导,应该把x看做中间变量,用复合函数求导法则先对x求导,再乘上x对y的导数φ'(y).所以
φ"(y)=-1/[f'(x)]²·[f'(x)]'(x)·φ'(y)
=-f"(x)/[f'(x)]²·φ'(y)
把(*)式代入上式即得到:
φ"(y)=-f"(x)/[f'(x)]³
填-f"(x)/[f'(x)]³
再问: " 把等号右边视作分式,等式两端再对y求导 φ"(y)={-1/[f'(x)]²}·[f'(x)]'(y) (最后的括弧y表示对y求导) " 这一步中为什么要再乘以 [f'(x)]'(y) ?
再答: 这是复合函数求导,函数f'(x)意义是y是x的函数,包含了y在里面,是一个关于y的复合函数。 f'(x)是x的函数,却要对y求导,应该把x看做中间变量。
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