已知函数f(x)=lnx-2x^2+3x 证明:存在α∈(1,+∞）使得f(α)=f(1/3)

首页/题库/131℃/2024-07-05 05:26:56

优质解答：

f(x)=lnx-2x²+3x,f(1/3)=ln(1/3)-2*(1/3)²+3*(1/3)=-ln3+(7/9)

若 f(x)=-ln3+(7/9),构造函数 g(x)=f(x)+ln3-(7/9)=lnx-2x²+3x+ln3-(7/9),则 g'(x)=(1/x)-4x+3；

令 g'(x)=(1/x)-4x+3=0,解得：x1=-1/4（不在定义域内,舍去）,x2=1；

当 x0,当 x>1,g'(x)0；

又 x→+∞,lim{g(x)}=~x²→-∞,且g(x)在x>0时连续,所以g(x)在(1,+∞)内有一个零值点；

即存在实数a,使得 g(a)=0,a∈(1,+∞),从而 f(a)=f(1/3) 成立；

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