如图，在矩形ABCD中，AB=33，BC=3，沿对角线BD将BCD折起，使点C移到点C′，且C′在平面ABD的射影O恰好

首页/题库/261℃/2024-05-19 03:18:26

如图，在矩形ABCD中，AB=33

优质解答：

（1）由题意可得，C′O⊥平面ABD，

∵DA⊂平面ABD，

∴C′O⊥DA，

由题意可知，∠DAB=90°，即DA⊥AB，且C′O∩AB=O，

∴DA⊥平面C′AB，又BC′⊂平面C′AB，

∴BC′⊥DA，

又∠BC′D=∠BCD=90°，即BC′⊥C′D，且C′D∩DA=D，

∴BC′⊥平面ADC′；

（2）根据（1）可知，BC′⊥平面ADC′，

∵AC′⊂平面ADC′，DC′⊂平面ADC′，

∴BC′⊥AC′，BC′⊥DC′，

∴∠AC′D即为二面角A-BC′-D的平面角，

又由（1）知，DA⊥平面C′AB，

∵AC′⊂平面C′AB，

∴DA⊥AC′，即△DAC′为直角三角形，

在直角三角形DAC′中，DA=BC=3，DC′=DC=AB=3

3，

∴sin∠AC′D=

DA

DC′=

3

3

3=

3

3，

故二面角A-BC′-D的正弦值为

3

3．

试题解析：

（1）根据已知的线面垂直，可以得到DA⊥C′O，再根据DA⊥AB，即可证明DA⊥面C′AB，从而证得BC′⊥DA，利用直线与平面垂直的判定定理，即可证得BC′⊥面ADC′；

（2）根据（1）的结论，结合二面角的平面角的定义，即可确定∠AC′D即为二面角A-BC′-D的平面角，在直角三角形DAC′中，即可求得二面角A-BC′-D的正弦值．

名师点评：

本题考点： 二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．

考点点评： 本题考查线面关系，直线与平面垂直的判定定理以及二面角的求解等基础知识，考查思维能力、空间想象能力，求解二面角的问题，关键在于如何正确的找到二面角的平面角．属于中档题．

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