如图，△ABC中，∠C=90゜，⊙I为△ABC的内切圆，点O为△ABC的外心，BC=6，AC=8．

首页/题库/421℃/2024-02-05 16:16:24

如图，△ABC中，∠C=90゜，⊙I为△ABC的内切圆，点O为△ABC的外心，BC=6，AC=8．

（1）求⊙I的半径； 

（2）求OI的长．

优质解答：

（1）设⊙I的半径为r，

∵△ABC中，∠C=90゜，BC=6，AC=8，

∴AB=

AC2+BC2=10，

∴S△ABC=

1

2AC•BC=

1

2（AB+AC+BC）•r，

∴r=

AC•BC

AB+AC+BC=2；

（2）设⊙I与△ABC的三边分别切于点D，E，F，连接ID，IE，IF，

∴∠IEC=∠IFC=90°，

∵∠C=90°，

∴四边形IECF是矩形，

∵IE=IF，

∴四边形IECF是正方形，

∴CE=IE=2，

∴BD=BE=BC-CE=6-2=4，

∵点O为△ABC的外心，

∴AB是直径，

∴OB=

1

2AB=5，

∴OD=OB-BD=5-4=1，

∴OI=

OD2+ID2=

5．

试题解析：

（1）首先设⊙I的半径为r，由△ABC中，∠C=90゜，BC=6，AC=8，可求得AB的长，又由S△ABC=12AC•BC=12（AB+AC+BC）•r，即可求得答案；

（2）首先设⊙I与△ABC的三边分别切于点D，E，F，连接ID，IE，IF，由切线长定理可求得BD的长，又由点O为△ABC的外心，可求得OB的长，即可求得OD的长，然后由勾股定理求得答案．

名师点评：

本题考点： 三角形的内切圆与内心．

考点点评： 此题考查了三角形的内切圆的性质、勾股定理以及三角形的外接圆的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用．

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