已知关于x的不等式｜2x+1｜-|x-1|≤log2a(其中a>0) 当a=4时,求不等式的解集；若

首页/题库/339℃/2024-06-01 18:31:32

已知关于x的不等式｜2x+1｜-|x-1|≤log2a(其中a>0) 当a=4时,求不等式的解集；若

已知关于x的不等式｜2x+1｜-|x-1|≤log2a(其中a>0)

当a=4时,求不等式的解集；若不等式有解,求实数a的取值范围.

优质解答：

⑴

a＝4时,原不等式为|2x＋1|－|x－1|≤log(2) 4＝2

当x＜－1/2时,则原不等式可化为－(2x＋1)＋(x－1)≤2,解得x≥－4,故－4≤x＜－1/2；

当－1/2≤x≤1时,则原不等式可化为2x＋1＋x－1≤2,解得x≤2/3,故－1/2≤x≤2/3；

当x＞1时,则原不等式可化为2x＋1－(x－1)≤2,解得x≤0,故无解；

综上所述,原不等式的解集为[－4,2/3]

⑵

设f(x)＝|2x＋1|－|x－1|

i)当x＜－1/2时,f(x)＝－x－2,f(x)是减函数,∴f(x)＞－3/2

ii)当－1/2≤x≤1时,f(x)＝3x,f(x)是增函数,∴－3/2≤f(x)≤3

iii)当x＞1时,f(x)＝x＋2,f(x)是增函数,∴f(x)＞3

综上所述,f(x)＝|2x＋1|－|x－1|的值域为[－3/2,＋∞).

∴要使|2x＋1|－|x－1|≤log(2) a有解

即须使－3/2≤log(2) a

∴log(2) a≥log(2) [2^(－3/2)]

a≥2^(－3/2)＝(√2)/4

∴实数a的取值范围为[√2/4,＋∞).

再问： 太感谢了！

再答： 不客气.

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