已知函数f﹙X﹚＝1／3aX²－bX－lnX,其中a,b∈R.

首页/题库/178℃/2024-04-16 23:24:01

已知函数f﹙X﹚＝1／3aX²－bX－lnX,其中a,b∈R.

﹙1﹚当a＝3,b＝﹣1时,求函数f﹙X﹚的最小值.

﹙2﹚若曲线y＝f﹙x﹚在点﹙e,f﹙e﹚﹚处的切线方程为2x﹣3y﹣e＝0,求a,b的值.

﹙3﹚当a＞0,且a为常数时,若函数h﹙x﹚＝x[f﹙x﹚＋lnx]对任意的x1＞x2≥4,总有h﹙x1﹚－h﹙x2﹚／x1－x2＞﹣1成立,试用a表示出b的取值范围.

优质解答：

1、当条件成立,f(x)=X²+x-Inx（x＞0）

求导后可变成g(X)=2x+1-1\x=（2X²+x-1)\x,之后根据单调求出f(x)min=f(1\2)=3\4+In2

2、先代入点﹙e,f﹙e﹚﹚,得f(e)=1\3ae^2-be-1

之后求导后再代入点﹙e,f﹙e﹚﹚,得2\3ae-b-1\e=2\3

且2e-e=3f(e)

从而解出a=1\e b=-1\e

3、h(x)=1\3ax^3-bx^2(x>0)

h﹙x1﹚－h﹙x2﹚／x1－x2＞﹣1变成h﹙x1﹚－h﹙x2﹚

变成h﹙x1﹚+x1>h﹙x2﹚+x2

所以构造函数g(X)=h(X)+x,那么对于x>=4时,g(x）是单调递增函数.

即g(x)=1\3ax^3-bx^2+x是单调递增函数,求导后aX²-2bx+1>=0(x>=4)

因为a>0,开口向上.

所以解出当b^

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