在正三棱锥P-ABC中，M、N分别是侧棱PB，PC的中点，若截面AMN⊥侧面PBC，则此三棱锥的侧面与底面所成的角的正切

首页/题库/232℃/2024-07-07 19:07:06

在正三棱锥P-ABC中，M、N分别是侧棱PB，PC的中点，若截面AMN⊥侧面PBC，则此三棱锥的侧面与底面所成的角的正切值是5

优质解答：

如图，取MN中点O，连接AO，PO，延长PO交BC于点D，连接

AD，则BD=DC

∵三棱锥P-ABC为正三棱锥

∴AM=AN

∴AO⊥MN

∵截面AMN⊥侧面PBC

∴AO⊥侧面PBC

∴AO⊥PD，又PO=OD

∴PA=AD，且∠ADO就是侧面与底面所成的二面角的平面角

设AB=a，则AD=

3

2a=PA

∵PD=

(

3a

2)2−(

a

2)2=

2

2a

∴OD=

2

4a∴AO=

(

3a

2)2−(

试题解析：

先作出二面角的平面角，即取BC中点D，可证明∠ADP就是侧面与底面所成的二面角的平面角，再利用截面AMN⊥侧面PBC的特点，证明△PAD是等腰三角形，从而沟通了侧棱长和底面边长间的关系，最后在直角三角形中计算tan∠ADO即可

名师点评：

本题考点： 与二面角有关的立体几何综合题．

考点点评： 本题考查了正三棱锥的性质，二面角的求法和面面垂直的性质，解题时要有空间想象力，要能恰当的沟通未知量之间的关系，能够用转化的思想方法将空间问题化为平面问题

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