（2012•密云县二模）如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E．设CD=CB=34，AD=9，AB=

首页/题库/111℃/2024-05-10 05:30:37

（2012•密云县二模）如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E．设CD=CB=34

优质解答：

如图，在AB上截取AF=AD，连接CF，

∵AC平分∠BAD，

∴∠1=∠2，

在△ADC和△AFC中，

∵

AD＝AF

∠1＝∠2

AC＝AC，

∴△ADC≌△AFC（SAS），

又∵AD=9，CD=CB=

34，

∴AF=AD=9，CF=CD=CB=

34，

∴△CBF是等腰三角形，

又∵CE⊥AB于E，AB=15，

∴EF=EB=

1

2BF=

1

2（AB-AF）=3，

在Rt△BEC中，cosB=

BE

BC=

3

34=

3

34

34，

在Rt△BEC中，CB=

34，BE=3，

由勾股定理得：CE=

CB2−BE2=5，

在Rt△AEC中，CE=5，AE=AF+EF=9+3=12，

由勾股定理得：AC=

AE2+EC2=13，

∴∠B的余弦值为

3

34

34，AC的长为13．

试题解析：

在AB上截取AF=AD，由AC为角平分线得到一对角相等，再由公共边AC，利用SAS可得出三角形ADC与三角形AFC全等，利用全等三角形的对应边相等得到CD=CF，由CD=CB，得到CF=CB，即三角形BCF为等腰三角形，再由CE垂直于BF，利用三线合一得到E为BF的中点，进而由AE-AF求出EF的长，即为EB的长，在三角形CEB中，利用锐角三角形函数定义及BC与EB的长，求出∠B的余弦值，再利用勾股定理求出CE的长，在直角三角形ACE中，由AE与CE的长，利用勾股定理即可求出AC的长．

名师点评：

本题考点： 解直角三角形；全等三角形的判定与性质；勾股定理．

考点点评： 此题属于解直角三角形的题型，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，等腰三角形的三线合一性质，勾股定理，以及锐角三角函数定义，利用了转化及数形结合的思想，其中作出相应的辅助线是本题的突破点．

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