已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=2,a2=4,当n≥3时,Sn+S(n-2)=2[S(n-1)]+2

首页/题库/411℃/2024-05-21 06:34:39

已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=2,a2=4,当n≥3时,Sn+S(n-2)=2[S(n-1)]+2

(1)求证数列{an}是等差数列.

(2)设数列{bn}对任意的n∈N,均有an=b1*S1+b2*S2+……+bn*Sn成立,求b1+b2+……+b2011的值

优质解答：

Sn+S(n-2)=2[S(n-1)]+2

Sn-[S(n-1)] = [S(n-1)] - S(n-2) +2

an = an-1 +2

an - an-1 = 2

n>=3

a1=2,a2=4,

所以 {an}是等差数列.

数列{bn}对任意的n∈N,均有an=b1*S1+b2*S2+……+bn*Sn成立

所以

an=b1*S1+b2*S2+……+bn*Sn (1)

an+1 = b1*S1+b2*S2+……+bn*Sn + b(n+1)*S(n+1) (2)

(2) - (1)

b(n+1)*S(n+1) = 2

b.n*Sn = 2

bn = 2/Sn

= 2/[ n( a1 + an) /2 ]

=4 / [ n( 2 + 2(2+2(n-1)) ) ]

=2/n*(n+1)

b1+b2+……+b2011

= 2 [ 1/(1x2 ) + 1/(2x3 ) +…… + 1/(2011x2012 ) ]

=2[ 1-1/2 + 1/2 - 1/3 +1/3 -1/4 + …… +1/2011 - 1/2012 ]

= 2[ 1- 1/2012 ]

=2011/1006

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