已知圆C：x^2+y^2-6x-4y+4=0,直线l1被圆截得的弦的中点为P(5,3）.

首页/题库/469℃/2022-09-01 14:56:50

已知圆C：x^2+y^2-6x-4y+4=0,直线l1被圆截得的弦的中点为P(5,3）.

是否存在常数b,使得直线l2：x+y+b=0被圆C所截得的弦的中点落在直线l1上?若存在,求出b的值,若不存在,说明理由

优质解答：

∵x^2+y^2-6x-4y+4=0 可化为 (x-3)^2+(y-2)^2 = 3^2

∴圆C的中心为C(3,2),半径为3

假设 存在 M(x0,y0) 满足题意

l1的一个法向量为CP=(2,1)

l2的一个法向量为e=(1,1)

由 PC⊥l1 即 PC⊥MP 得 2(x0-5)+1(y0-3)=0

由 MC⊥l2 即 MC∥t*e 得 (x0-3,y0-2)=t*(1,1)

解得 t=5/3,x0=14/3,y0=11/3

∴M(14/3,11/3)

∵MC^2=(14/3-3)^2+(11/3-2)^2=50/9 < 3^2

∴M在圆C内,满足题意

把M(14/3,11/3) 代入 l2:x+y+b=0

解得 b=-25/3

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