已知关于x的一元二次方程mx2-（2m-1）x+m-2=0（m＞0）

首页/题库/311℃/2024-02-24 06:33:32

已知关于x的一元二次方程mx2-（2m-1）x+m-2=0（m＞0）

（1）求证：这个方程有两个不相等的实数根；

（2）如果这个方程的两个实数根分别为x1，x2，且（x1-3）（x2-3）=5m，求m的值．

优质解答：

（1）判别式△=（2m-1）2-4m（m-2）

=4m2-4m+1-4m2+8m

=4m+1

∵m＞0

∴4m+1＞0

所以方程有两个不相等的实数根．

（2）由韦达定理得

x1+x2=

2m−1

m

x1x2=

m−2

m

所以（x1-3）（x2-3）=5m

x1x2-3（x1+x2）+9=5m

m−2

m-3×

2m−1

m+9=5m

两边同时乘以m并化简

m-2-6m+3+9m=5m2

5m2-4m-1=0

（5m+1）（m-1）=0

解得m=1或m=-

1

5（舍去）

经检验m=1是方程的根．

所以m的值是1．

试题解析：

（1）只需证明根的判别式恒大于0即可．

（2）把等号左边整理（x1-3）（x2-3）=x1x2-3（x1+x2）+9，再把一元二次方程根与系数的关系代入列出方程解则可．

名师点评：

本题考点： 根与系数的关系；根的判别式；解分式方程．

考点点评： 本题考查了一元二次方程根与系数的关系及根的判别式，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．

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