若对任意x,y,z∈R,x∧2+y∧2+z∧2-2ax-2by-2cz+2≥0恒成立,求 2a+b

首页/题库/281℃/2021-02-10 18:33:07

优质解答：

x∧2+y∧2+z∧2-2ax-2by-2cz+2≥0恒成立,

配方得：(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2-a^2-b^2-c^2+2≥0,

所以-a^2-b^2-c^2+2≥0,

即2≥a^2+b^2+c^2.

根据柯西不等式：( a^2+b^2+c^2)(

x^2+y^2+z^2) ≥(ax+by+cz)^2,

所以( a^2+b^2+c^2)( 2^2+1^2+3^2) ≥(2a+b+3c)^2,

即2( 2^2+1^2+3^2) ≥(2a+b+3c)^2,

所以2√7≥2a+b+3c,

即2a+b+3c的最大值是2倍根号7.

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