求证:在三角形ABC中,向量PA+向量PB+向量PC=0响亮的充要条件是P为三角形的重心

首页/题库/438℃/2023-02-10 19:27:01

优质解答：

当P是三角形ABC的重心

延长AP交BC于D,再延长到E,使|DE|=PD|,连接BE,EC

则：|PD|=(1/2)|PA|,|PE|=|PA|,向量PA=-向量PE

因D是BC中点,又是PE中点

所以：PBEC是平行四边形

所以：向量PB+向量PC=向量PE=-向量PA

向量PA+向量PB+向量PC=0向量

当向量PA+向量PB+向量PC=0向量

作BE平行PC,CE平行PB,交于E

连接PE,交BC于D

则：PBEC是平行四边形,所以：向量PE=向量PB+向量PC,同时D是BC中点

而：向量PA+向量PB+向量PC=0向量

所以：向量PA+向量PE=0向量

向量PA=-向量PE

所以：P,A,E共线,即AP延长线与BC交于BC的中点

同理可证：BP延长线与AC交于AC的中点,CP延长线与AB交于AB的中点

所以：P为三角形的重心

所以：在三角形ABC中,向量PA+向量PB+向量PC=0向量的充要条件是P为三角形的重心.

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