0/0型极限问题不太明白当求这种极限的时候,书上说用无穷小量替换只能用于乘除不能用于加减（比如分子是加减法时）,可是后来

首页/题库/343℃/2024-07-13 07:01:38

0/0型极限问题

不太明白当求这种极限的时候,书上说用无穷小量替换只能用于乘除不能用于加减（比如分子是加减法时）,可是后来我发现当分子分母加减法时却可以用泰勒公式计算,这是为什么?泰勒公式不也是无穷小量替换么?

优质解答：

对于你的问题,我们首先澄清一点,那就是,泰勒公式不是等价无穷小替换.

等价无穷小替换是一种近似替换,替换者与被替换者一般并不相等,只是他们的比值的极限等于一而已.好比说当 x→0 时,x 与 sin x 是等价无穷小,但无论 |x| 怎样小,只要 x ≠ 0,等式 x ＝ sin x 都不会成立,我们所能知道的信息,最多只是 lim_{x → 0} (sin x /x)＝1.

而泰勒公式则不同,它是准确等式.好比说

sin x ＝x－ x^3 /3!＋ R_3(x)

是 sin x 在 x＝0 附近的三阶泰勒展开式.那么这个等式就对任何的 x 都准确无误地成立,而不象上述的 x 与 sin x 那样,只在一点处相等,其他时候只是近似相等.其中,等式右边的 R_3(x) 称为余项,虽然我们不知道（不需要知道）它等于多少,但是这个 R_3(x) 却不能随便拿掉,一旦拿掉,等式就不再成立,也就不能称为泰勒公式了.

二者的上述差别,造成如下结果：

由于等价无穷小之间一般并不相等,使用等价无穷小替换后,实质上已是在求另外一个不同的极限了,仅仅由于极限四则运算的法则,才能保证在乘除运算中,使用等价无穷小替换后,结果仍然不变.例如,下列运算过程

lim_{x → 0}(tan 2x / sin 5x) ＝ lim_{x→ 0}(2x/5x)＝2/5

中,lim_{x → 0}(tan 2x / sin 5x) 与 lim_{x→ 0}(2x/5x) 实质上是两个不同的极限,他们之间所以能够相等,是由于“乘积的极限等于极限的乘积”这一法则：

lim_{x → 0}(tan 2x / sin 5x) ＝lim_{x → 0}(tan 2x / 2x ) × lim_{x → 0}(2x / 5x) × lim_{x → 0}(5x / sin 5x)＝lim_{x → 0}(2x / 5x).

而在分子或分母的加减运算中,则没有任何类似的法则来保证替换以后,新的极限仍然等于原来的极限.事实上,等价无穷小替换时,替换者与被替换者的差别,在乘除运算中原本并不重要,但在加减运算中则有可能变得重要起来.在这种时候等价无穷小替换就失效了.例如我们上面说 x→ 0 时 x 与 sin x 等价,其实也可以说成是

lim_{x→ 0} (x－ sin x)/x ＝0

换言之,x 与 sin x 之间的差别虽然不是零,但是与 x 或 sin x 中无论哪一个相比,都是微不足道的（高阶无穷小）.但是在下列极限

lim_{x→ 0} (x－ sin x)/x^3 ＝1/6 --------------(1)

中就不同了,x 与 \sin x 之间的差别,相对于分母 x^3 来说就变得很重要了,就不能再随随便便用 x 去替换 \sin x 了.

象上面 (1) 式这种情况,就应该用泰勒公式.由于泰勒公式是准确等式,将极限式中某一项或几项按照泰勒公式展开后,并不会产生一个实质上与原来极限不同的新极限.拿 (1) 式来讲,将 sin x 按泰勒公式展开到三阶,则有

(x－ sin x)/x^3＝(x － (x－x^3/3!＋R_3(x)) ) / x^3 ＝1/6 － R_3(x) / x^3,

这个等式对任意 x ≠ 0 都准确无误地成立,因而两边取极限,实质上是同一个极限：

lim_{x→ 0}(x－ sin x)/x^3 ＝ 1/6 － lim_{x→ 0} (R_3(x) / x^3) ＝ 1/6.

这里再次重申,泰勒公式中的余项是保证等式准确成立的关键,绝不可以去掉.一旦去掉余项,等式就又变成了近似等式,那跟无穷小量替换就又没有本质区别了.实际上,在 (1) 式中用 x 代替 sin x 之所以发生错误,也可以说是不正确地舍弃余项的结果：由于 sin x 的一阶展式为

sin x ＝ x ＋ R_1(x),

用 x 代替 sin x 相当于舍弃了余项 R_1(x) ,殊不知关键的东西正是隐藏在 R_1(x) 中.

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