【高一数学】已知f（x）=x2+2x+a/x,x∈[1,+∞）

首页/题库/405℃/2024-07-05 04:39:16

【高一数学】已知f（x）=x2+2x+a/x,x∈[1,+∞）

当a=4时,求f(x)最小值

当a＞0,求f(x)的最小值

优质解答：

f(x)=(x^2+2x+a)/x=x+(a/x)+2

(1)

当a=4时,

f(x)=x+(4/x)+2≥2√x·(4/x)+2=6(当且仅当x=4/x,即x=2时取“=”)

f(min)=6

(2)

当a>0时,

f(x)=x+(a/x)+2,对勾函数的勾底的横坐标为x=√a,

如果√a≤1时,f(x)在[1,+∞)上是增函数,最小值

f(min)=f(1)=a+3

如果√a>1,由均值定理：

f(x)≥2√x·(a/x)+2=2√a+2(当且仅当x=√a时取“=”)

f(min)=2√a+2

题目如果是：f(x)=x^2+2x+(a/x)请再追问；

再问： f(x)=x+(4/x)+2≥2√x·(4/x)+2=6(当且仅当x=4/x,即x=2时取“=”) 这步就没懂

再答： 这是高二的均值定理； 如果没有学到的话，就用单调函数的定义法证明函数在[1,2]上是减函数， 在[2,+∞)上是增函数；

再问： 题目如果是：f(x)=x^2+2x+(a/x)呢？

再答： 这就要用高三数学中的求导数的方法，

再问： y=[（1/4）∧x]+[（1/2）∧x] +1的值域和定义域可否给我解答一下这道题 我明天就期中考试了 谢谢

再答： y=(1/4)^x+(1/2)^x+1 定义域为R; 令t=(1/2)^x ==>t>0 y=t^2+t+1 抛物线y(t)开口向上，对称轴为：t= - 1/2, 函数y(t)在(0,+∞)上的单调性是：单调增， 所以，y>y(0)=1 所以原函数的值域为：（1，+∞）

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