已知正项数列{an},{bn}满足：对任何正整数n,都有an,bn,a(n+1）成等差数列,bn,a(n+1),b(n+

首页/题库/477℃/2024-05-12 11:30:10

已知正项数列{an},{bn}满足：对任何正整数n,都有an,bn,a(n+1）成等差数列,bn,a(n+1),b(n+1)成等比数列,

且a1=10,a2=15

求证：数列(根号Bn)是等差数列

求数列{an},{bn}通用公式

设Sn=1/(a1)+1/(a2)+1/(a3)+.1/(an)如果对任何正整数n,不等式2aSn

优质解答：

1.令Cn=根号Bn 则由bn,a(n+1),b(n+1)成等比数列知,AN+1=CN乘以CN+1

由an,bn,a(n+1）成等差数列,2CN平方=AN + AN+1 = CN-1乘以CN + CN乘以CN+1

即2CN=CN-1 + CN+1

亦即 2根号BN=根号BN-1 + 根号BN+1

证毕

2.根据第一问知,数列CN 为等差数列

易求 C1=5除以根号2 C2=3乘以根号2 所以公差为 根号2除以2（即根号2分之一）

所以数列CN通项公式为 CN=5除以根号2 + (N-1)乘以根号2分之一

由bn,a(n+1),b(n+1)成等比数列,AN=根号BN 乘以 根号bn+1 = cn 乘以 cn+1 = （N+4)(N+5)除以2

由an,bn,a(n+1）成等差数列,又已求出AN,易得BN=(N+5)平方除以2

3.

AN=(N+4)(N+5)除以2

所以1除以AN = 2（ 1/（n+4)-1/（N+5) )

所以SN = 2 ( 1/5 - 1/ (n+5) ）

最后一问化简为

A < (N+3)(N+5) / 4N(N+4) 恒成立

即求 (N+3)(N+5) / 4N(N+4） 最小值

以下略.（相当于求函数 F(N)=(N+3)(N+5) / 4N(N+4）的最值 ）

再问： AN=根号BN 乘以 根号bn+1 = cn 乘以 cn+1 = （N+4)(N+5)除以2那么当N=1的时候，A1=15但题目说A1=10与事实不符。

再答： 不小心弄错了~ An=(n+3)(n+4)\2 Bn=(n+4)的平方/2

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