（2012•东城区二模）如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的⊙O与AD、AC分别交于点E、F，

首页/题库/488℃/2024-05-22 01:34:15

（2012•东城区二模）如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的⊙O与AD、AC分别交于点E、F，且∠ACB=∠DCE．

（1）判断直线CE与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）若AB=2

优质解答：

（1）直线CE与⊙O相切．…（1分）

理由：连接OE，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠B=∠D=∠BAD=90°，BC∥AD，CD=AB，…（2分）

∴∠DCE+∠DEC=90°，∠ACB=∠DAC，

又∠DCE=∠ACB，

∴∠DEC+∠DAC=90°，

∵OE=OA，

∴∠OEA=∠DAC，

∴∠DEC+∠OEA=90°，

∴∠OEC=90°，

∴OE⊥EC，…（3分）

∵OE为圆O半径，

∴直线CE与⊙O相切；…（4分）

（2）∵∠B=∠D，∠DCE=∠ACB，

∴△CDE∽△CBA，…（5分）

∴

BC

DC＝

AB

DE，…（6分）

又CD=AB=

2，BC=2，

∴DE=1

根据勾股定理得EC=

3，

又AC=

AB2+BC2=

6，…（7分）

设OA为x，则（

3）2+x2=（

6-x）2，

解得x=

6

4，

∴⊙O的半径为

6

4．…（8分）

试题解析：

（1）首先连接OE，由OE=OA与四边形ABCD是矩形，易求得∠DEC+∠OEA=90°，即OE⊥EC，即可证得直线CE与⊙O的位置关系是相切；

（2）首先易证得△CDE∽△CBA，然后根据相似三角形的对应边成比例，即可求得DE的长，又由勾股定理即可求得AC的长，然后设OA为x，即可得方程（3）2-x2=（6-x）2，解此方程即可求得⊙O的半径．

名师点评：

本题考点： 切线的判定；勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定与性质．

考点点评： 此题考查了切线的判定与性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质以及勾股定理等知识．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是注意数形结合思想与方程思想的应用，注意辅助线的作法．

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