如图，在△ABC中，AB=BC=1，∠ABC=120°，将△ABC绕点B顺时针旋转30°得△A1BC1．A1B交AC于点

首页/题库/218℃/2024-04-29 19:57:27

如图，在△ABC中，AB=BC=1，∠ABC=120°，将△ABC绕点B顺时针旋转30°得△A1BC1．A1B交AC于点E，A1C1分别交AC，BC于点D，F．

（1）试判断四边形BC1DA的形状，并说明理由；

（2）求ED的长．

优质解答：

（1）四边形BC1DA是菱形．理由如下：

∵∠ABC=120°，AB=BC，

∴∠A=

1

2（180°-120°）=30°，

由题意可知∠A1=∠A=30°，

∵旋转角为30°

∴∠ABA1=30°，

∴∠A1=∠ABA1，

∴A1C1∥AB，

同理AC∥BC1，

∴四边形BC1DA是平行四边形，

∵AB=BC1，

∴四边形BC1DA是菱形；

（2）过点E作EG⊥AB于点G，

∵∠A=∠ABE=30°，AB=1，

∴AG=GB=

1

2，

∵cos∠A=

AG

AE，AE=

AG

cosA=

1

2

cos30°=

3

3，

∴ED=AD-AE=1-

3

3．

试题解析：

（1）先根据等腰三角形两底角相等以及三角形内角和定理求出∠A1=∠A=30°，再根据旋转角为30°得到∠ABA1=30°，从而得到∠A1=∠ABA1，然后根据内错角相等，两直线平行可得A1C1∥AB，同理AC∥BC1，最后根据平行四边形的定义以及菱形的定义即可证明；

（2）过点E作EG⊥AB于点G，根据等腰三角形三线合一的性质可得AG=12AB=12，再利用锐角三角形函数求出AE的长度，然后根据ED=AD-AE代入数据进行计算即可求解．

名师点评：

本题考点： 旋转的性质；平行线的判定与性质；菱形的判定；锐角三角函数的定义．

考点点评： 本题考查了旋转变换的性质，等角对等边的性质，平行四边形的判定，菱形的判定，等腰三角形的性质以及锐角三角形函数值，经过角度的计算得到相等的角是解题的关键．

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