已知与圆:x^2+y^2-2x-2y+1=0相切的直线l交x轴,y轴于A、B两点,且OA=a,OB=b(a>2,b>2)

首页/题库/130℃/2022-07-05 08:57:31

已知与圆:x^2+y^2-2x-2y+1=0相切的直线l交x轴,y轴于A、B两点,且OA=a,OB=b(a>2,b>2)

(1)求证(a-2)(b-2)=2

(2)求线段AB中点的轨迹方程

(3)求△AOB最小面积

优质解答:

(解:①圆C:x^+y^-2x-2y+1=0化为标准方程:(x-1)^+(y-1)^=1

圆心C(1,1),半径r=1.

设A(a,0),B(0,b)

直线AB:x/a+y/b=1即bx+ay-ab=0

圆心C(1,1)到直线AB的距离等于半径r=1.

|b+a-ab|/√(a^+b^)=1

|b+a-ab|^=(a^+b^)

(b+a)^-2ab(b+a)+a^b^=a^+b^

2ab-2ab(b+a)+a^b^=0

∵ab≠0∴2-2(b+a)+ab=0

∴(a-2)b-2a+4=2∴(a-2)(b-2)=2

②设线段AB中点(x,y)

x=(a+0)/2,y=(0+b)/2

∴a=2x,b=2y代入∴(a-2)(b-2)=2中得:

∴(2x-2)(2y-2)=2

∴(x-1)(y-1)=1/2[注:x>1,y>1]

③设a-2=m>0,b-2=n>0且mn=2

∴三角形AOB的面积S=(1/2)ab=(1/2)(m+2)(n+2)=(1/2)[mn+2m+2n+4]

≥(1/2)[mn+2√(2m×2n)+4]=(1/2)[2+2√(2×2×2)+4]=3+2√2

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